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Verschiedene Getriebe berechnen - Die wichtigsten Formeln für Zahnradgetriebe
Da es bei der Auslegung von Zahngetrieben von hoher Bedeutung ist, dass die beteiligten Zahnräder korrekt ineinandergreifen und der Verschleiß minimiert wird, sind diverse Grundberechnungen durchzuführen. Dabei spielen Begriffe wie Modul, Teilkreisdurchmesser und Zähnezahl eine große Rolle. In diesem Artikel gehen wir auf die wichtigsten Aspekte der Zahnradberechnung ein und zeigen, was bei der Berechnung von Getrieben zu beachten ist.
Wichtige Kenngrößen zur Zahnradberechnung
Bei der Zahnradkonstruktion sind viele Kenngrößen zu beachten und Maße zu bestimmen, um die Zahnrädergeometrie ideal auf die Anforderungen der späteren Anwendung abzustimmen.
Die Kenngrößen für die Zahnrädergeometrie sind:
- Achsabstand a
- Übersetzungsverhältnis i
- Modul m
- Teilung p
- Zähnezahl z
- Teilkreisdurchmesser dw
- Fußkreisdurchmesser df
- Kopfkreisdurchmesser da
Der Modul von Zahnrädern
Der Modul (Plural "Moduln") ist ein zur Zahnradberechnung verwendetes Maß, das in Millimetern angegeben und nach DIN 780 genormt ist.
Der Modul ist das Maß für die Größe der Zähne von Zahnrädern.
Bei der Auslegung von Zahnradpaarungen muss zwingend darauf geachtet werden, ausschließlich Zahnräder mit dem gleichen Modul zu verwenden. Der Modul berechnet sich wie folgt:
m=\frac{ p }{ \pi } = \frac{ d_{w} }{ z } = \frac{ d_{a} }{ (z+2) }
3 verschiedene Zanhrad-Durchmesser
Bei der Zahnradberechnung sind drei wichtige Größen für den Durchmesser relevant.
Der Kopfkreisdurchmesser da
Der Kopfkreisdurchmesser da bezeichnet den Durchmesser, der entlang der Zahnspitzen eines Zahnrades verläuft. Er ergibt sich aus dem Teilkreisdurchmesser und der Kopfhöhe.
d_{a}= d_{w} + 2 \times m
oder
d_{a}= m \times (z+2)
Der Fußkreisdurchmesser df
Der Fußkreisdurchmesser df bezeichnet den Durchmesser, der entlang des Zahngrundes eines Zahnrades verläuft. Er ergibt sich aus dem Teilkreisdurchmesser und der Fußhöhe.
d_{ f } = d - 2h_{f}
Der Teilkreisdurchmesser dw
Der Teilkreisdurchmesser dw beschreibt eine imaginäre Linie, die zwischen dem Kopfkreisdurchmesser und dem Fußkreisdurchmesser verläuft. Der Teilkreisdurchmesser ist ein fest definiertes Maß eines Zahnrades und kann zur Ermittlung der Achsabstände genutzt werden.
d_{ w } = m \times z
Achsabstand von Zahnrädern in einem Getriebe
Der Achsabstand a definiert den Abstand zwischen den beiden Mittelpunkten zweier Zahnräder und ergibt sich aus den Teilkreisdurchmessern der beiden Zahnräder (df,1, df,2).
a = \frac {d_{f,1} + d_{f,2}} {2}
oder
a = \frac {z_{1} + z_{2}} {2} \times m
Zähneabstand von Zahnrädern in Getrieben
Die Zähnezahl z gibt an, wieviele einzelne Zähne sich auf der Eingriffsfläche des Zahnrades befinden. Sie ergibt sich aus dem Kopfkreisdurchmesser und dem Modul.
z = \frac {d_{a} + 2m} { m }
Berechnung von Getrieben
Wenn zwei oder mehr Zahnräder miteinander kombiniert werden, stellt dies die einfachste Form eines Getriebes dar. Zu den wichtigsten Kenngrößen aller Getriebetypen zählen das Übersetzungsverhältnis und der Wirkungsgrad.
Übersetzungsverhältnis von Getrieben
Eine der Haupteigenschaften von Getrieben ist es, eine Wandlung der Eingangsdrehzahl (Antrieb) in eine Ausgangsdrehzahl (Abtrieb) zu erreichen. Diese Eigenschaft wird als Übersetzung bezeichnet und kann je nach Dimensionierung der Zahnräder größer als die Eingangsdrehzahl (Übersetzung) oder kleiner als die Eingangsdrehzahl (Untersetzung) ausfallen.
Das Übersetzungsverhältnis i lässt sich als Quotient aus der Antriebsdrehzahl nan und der Abtriebsdrehzahl nab ausdrücken.
i = \frac {n_{an} } { n_{ab} }
Alternativ kann das Übersetzungsverhältnis mithilfe der Zähnezahl (zan, zab) oder des Teilkreisdurchmessers (dan, dab) bestimmt werden.
i = \frac {z_{ab} } { z_{an} } = \frac {d_{ab} } { d_{an} }
Bei mehrstufigen Getrieben werden die Übersetzungsverhältnisse der einzelnen Stufen miteinander multipliziert und ergeben letztlich ein Gesamtübersetzungsverhältnis iges für die Stufen 1, 2, n.
i_{ges} = \frac {n_{an, 1} } { n_{ab, 1} } \times \frac {n_{an, 2} } { n_{ab, 2} } \times \frac {n_{an, n} } { n_{ab, n} } = {i_{1} } \times { i_{2} } \times i_{n}
Wirkungsgrad berechnen
Der Wirkungsgrad η eines Getriebes wird definiert als Quotient aus der nutzbaren Leistung PNutz und der zugeführten Leistung PZu. Die Differenz zwischen der nutzbaren und zugeführten Leistung geht in erster Linie als Wärmeenergie verloren, die durch die Reibung zwischen den Werkstoffen der Getriebekomponenten entsteht. Dabei gilt, je höher die Gleitreibung zwischen den Zahnrädern, Lagern und Achsen, desto geringer ist der Wirkungsgrad des Getriebes.
\eta = \frac {P_{Nutz} } { P_{Zu} }
Bei mehrstufigen Getrieben werden die Wirkungsgrade der einzelnen Stufen miteinander multipliziert und ergeben letztlich ein Gesamtwirkungsgrad ηges für die Stufen 1, 2, n.
\eta_{ges} = \frac {P_{Nutz, 1} } { P_{Zu, 1} } \times \frac {P_{Nutz, 2} } { P_{Zu, 2} } \times \frac {P_{Nutz, n} } { P_{Zu, n} } = {\eta_{1} } \times { \eta_{2} } \times \eta_{n}
Einfaches Berechnungsbeispiel für Zahnradgetriebe
Ein übliches Szenario für den Einsatz von Zahnradgetrieben ist ein gegebener Abstand zweier Wellen, auf denen eine Kraft in einem gegebenen Übersetzungsverhältnis übertragen werden soll.
Das folgende Rechenbeispiel - mit praxisnahen Werten- basiert auf einer vereinfachten Dimensionierung. Ziel ist die Berechnung der Konstruktionsparameter für das Anstriebs- und das Abtriebsrad.
- In der Praxis sind exakte Werte nicht realistisch, daher werden die Parameter mit einer Toleranz von 5 % angegeben.
- Alle Längeneinheiten sind in Millimeter [mm].
- Die Berechnung von Zahnradgetrieben hängt von den Erfahrungen aus der Praxis ab. Beachten Sie die Tipps bei der Auslegung des Getriebes.
- Die Kraft wird üblicherweise vom großen Zahnrad (Antriebsrad) auf das kleinere Zahnrad übertragen (Abtriebsrad).
- Der Index 1 gehört zum großen Antriebsrad (z.B. dw,1).
- Der Index 2 gehört zum kleineren Abtriebsrad (z.B. dw,2).
Gegeben sei:
- Das Übersetzungsverhältnis i = 1.9 ... 2.1 - die gewünschte Übersetzung ist 2.
- Der Achsabstand a = 33.25 mm ... 36.75 mm - der tatsächliche Achsenabstand ist 35 mm.
- Die Mindest-Zahnzahl des kleineren Zahnrads z2,min = 11.
- Die Konstante für das Kopfspiel k = 1.25.
Tipp: Stets mindestens 11 Zähne vorsehen. Ansonsten kommt es zu Verschleiß, weil die Zahnräder nicht exakt ineinandergreifen.
Gesucht sind die notwendigen Konstruktionsparameter:
- Der tatsächliche Achsenabstand.
- Die Teil-, Fuß- und Kopfkreisdurchmesser.
Zuerst wird die Zähnezahl des Antriebs berechnet.
Dafür wird die vorgegebene Zähnezahl z2 des Abtriebs verwendet. Durch die Toleranz setzen wir einmal die untere Grenze der Übersetzung ein, und einmal die obere.
Zuerst die untere Grenze:
z_{1,min} = 11 \times 1.9
z_{1,min} = 20.9
Danach die obere Grenze:
z_{1,max} = 11 \times 2.1
z_{1,max} = 23.1
Die Zähnezahl ist stets ganzzahlig und wird entsprechend auf- oder abgerundet. Außerdem wählen wir stets ungerade Zähnezahlen.
Tipp: Eine prime Zähnezahl (Primzahl) ist besonders vorteilhaft - dadurch wird die Langlebigkeit des Getriebes verbessert.
Wir wählen daher die Zähnezahlpaarung z1 = 23 und z2 = 11.
Aus den Zähnezahlen und dem Achsabstand, berechnen wir den Modul
Dafür stellen wir die Formel des Achsabstands um und setzen die Werte für z1 = 23 und z2 = 11, sowie den tatsächlichen Achsabstand a=35 mm ein:
m = \frac {2 \times 35 \mathrm{mm}}{23 + 11}
m = 2.06 \mathrm{mm}
Wir wählen den Modul mit 2 mm.
Das tatsächliche Übersetzungsverhältnis und der Achsenabstand müssen ermittelt werden
Aufgrund des Auf- oder Abrundens der Zähnezahlen z1 = 23 und z2 = 11 muss sichergestellt werden, dass das tatsächliche Übersetzungsverhältnis und der Achsenabstand noch innerhalb der vorgegebenen Toleranzen liegen.
Das tatsächliche Übersetzungsverhältnis:
i_{tat} = \frac{23}{11}
i_{tat} = 2.09
Das tatsächliche Übersetzungsverhältnis liegt innerhalb der Toleranz. Es kann damit weitergerechnet werden.
Der tatsächliche Achsabstand:
a = \frac {23 + 11} {2} \times 2 \mathrm{mm}
a = 34 \mathrm{mm}
Auch der tatsächliche Achsabstand liegt innerhalb der Toleranz.
Jetzt können mit den bekannten Formeln die Konstruktionsparameter der Zahnräder berechnet werden
Die Fußkreisdurchmesser und die Kopfkreisdurchmesser hängen von den Teilkreisdurchmessern ab. Daher werden jeweiligen Teilkreisdurchmesser zuerst berechnet.
Der Teilkreisdurchmesser vom Antriebsrad mit dem Modul m = 2 mm und z1 = 23:
d_{ w,1 } = 2 \mathrm{mm} \times 23
d_{ w,1 } = 46 \mathrm{mm}
Der Teilkreisdurchmesser vom Abtriebsrad mit dem Modul m = 2 mm und z2 = 11:
d_{ w,2 } = 2 \mathrm{mm} \times 11
d_{ w,2 }= 22 \mathrm{mm}
Die Fußkreisdurchmesser vom Antriebsrad mit dem Kopfspiel k = 1.25:
d_{ f,1 } = 46 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}
d_{ f,1 } = 41 \mathrm{mm}
Die Fußkreisdurchmesser vom Abtriebsrad mit dem Kopfspiel k = 1.25:
d_{ f ,2} = 22 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}
d_{ f ,2} = 17 \mathrm{mm}
Der Kopfkreisdurchmesser vom Antriebsrad:
d_{a,1} = 2 \mathrm{mm} \times (23 + 2)
d_{a,1} = 50 \mathrm{mm}
Der Kopfkreisdurchmesser vom Abtriebsrad:
d_{a,2} = 2 \mathrm{mm} \times (11 + 2)
d_{a,2} = 26 \mathrm{mm}
Die fertig konstruierten Zahnräder
